Clasificación de álgebras de División Reales

Resumen

Este artículo pretende ofrecer un enfoque unificador para la teoría básica de las álgebras de división presentando la investigación del matemático alemán-estadounidense Max August Zorn, quien clásico las álgebras de división alternativas. En la sección 1 se desarrolla la teoría básica de las álgebras de división reales. En la sección 2 se presenta el Proceso de Cayley-Dickson, que consiste en construir una álgebra extensión a partir de una álgebra provista de una conjugación, similar a la construcción de los números complejos a partir de los números reales. En la sección 3 se presentan las álgebras de división clásicas R (reales), C (complejos), H (cuaterniones) y O (octoniones) y se mencionan algunas de sus aplicaciones. En la sección 4 se presenta el teorema principal, que establece que las únicas (salvo isomorfismo) álgebras de división alternativas son: R, C, H y O (teorema de Zorn). Los teoremas de clasificación de las ´algebras de división asociativas (Frobenius) y de las ´algebras de división normadas (Hurwitz) se obtienen como corolarios del teorema de Zorn. Finalmente en la sección 5 se mencionan aplicaciones de las ´algebras de división a la Geometría, Teoría de Números, Física Clásica, Física Moderna, Mecánica Cuántica y Criptografía.